Question

已知集合P={x|

1

3

≤x≤3}，函数y=log2(ax2+2x-2)的定义域为Q，若P∩Q≠∅，则实数a的取值范围是

（-

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先求出函数y=log2(ax2+2x-2)的定义域为Q时的等价条件，然后，利用P∩Q≠∅，建立不等关系，可以求解实数a的取值范围是．

解答：解：∵P∩Q≠∅，则在[

1

3

，3]内至少存在一个x使ax²+2x-2＞0成立，
即ax²＞2-2x，∴a＞

2-2x

x2

=

2

x2

-

2

x

=2(

1

x

)2-2?

1

x

在[

1

3

，3]成立即可．
设g(x)=2(

1

x

)2-2?

1

x

，
则g(x)=2(

1

x

)2-2?

1

x

=2(

1

x

-

1

2

)2-

1

2

，
∵x∈[

1

3

，3]，∴

1

x

∈[

1

3

，3]，
即-

1

2

≤g(x)≤12，
∴a＞-

1

2

．
即实数a的取值范围是（-

1

2

，+∞）．
故答案为：（-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查利用集合关系求参数问题，注意本题为存在性问题，不是恒成立问题，注意它们之间的区别和联系．