Question

（本小题满分13分）如图，四棱锥中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2.

（1）求三棱锥的外接球的体积；

（2）求二面角与二面角的正弦值之比.

Answer 1

（1）;（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，且平面，所以三棱锥的外接球的球队心为中点，又直径，可求外接球体积；（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求出二面角与二面角的的余弦值，再分别求出其正弦值即可.

试题解析：（1）连接AC，则AC⊥CD，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

∴CD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，

∴∠PCD=90°，（2分）

而∠PAD=90°，

从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E.（4分）

直径，

所以三棱锥P-ACD外接球的体积

.（6分）

（2）建立坐标系，以点A为坐标原点，

分别为轴正方向，

则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）

.

设平面PBC的法向量，则即

∴=（1，0，1）

由（1）知CD⊥平面PAC，故平面PAC的一个法向量为=（-1，1，0），（8分）

所以.

二面角B-PC-A的大小为，其正弦值为，（10分）

由CD⊥平面PAC，得平面PCD⊥平面PAC，二面角A-PC-D为直二面角，其正弦值为1，（12分）

综上，二面角B—PC—A与二面角A—PC—D的正弦值之比为.（13分）

考点：空间线面垂直判定与性质、空间向量的应用.