Question

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知本题是一个独立重复试验，看出变量的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式写出变量取不同值时的概率，写出分布列和期望．
（2）由题意知本题要使的P（ξ=1）的值最大，题目最容易考虑到的一种方法是把P（ξ=1）的值同其他几个变量的概率值进行比做差比较，使得差大于零，解不等式组，得到a的取值范围．
解答：解：（1）由题意知ξ个正面向上，3-ξ个背面向上．
ξ的可能取值为0，1，2，3．
根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，
，
，，
．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为．
（2），
，
．
由和0＜a＜1，
得，
即a的取值范围是．
点评：本题是一个综合题，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．