Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n
（3）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，确定数列{a_n}的公差，可得数列的通项；再写一式，两式相减，可得}，{b_n}的通项公式；
（2）利用作差法，即可证得结论；
（3）利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：（1）解：∵等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₃=5，a₅=9，∴=2
∴a_n=a₅+2（n-5）=2n-1
∵S_n=，∴n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=，∴
∵n=1时，b₁=S₁=，∴b₁=
∴b_n=•=；
（2）证明：由（1）知c_n=a_n•b_n=
∴c_n+1-c_n=-=≤0
∴c_n+1＜c_n
（3）解：T_n=++…+
∴T_n=+…++
两式相减可得：T_n=++…+-=
∴T_n=．
点评：本题考查数列的通项公式与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．