Question

已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意，，解得．
即椭圆方程为
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，所以 ．
原点到直线的AB距离，
所以三角形的面积．
由可得k²=2，∴，
所以直线或．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．