Question

在△ABC中，P是边BC的中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sinC•

AC

+sinA•

PA

+sinB•

PB

=

0

，则△ABC中角A的大小为

 

．

Answer 1

分析：利用向量间的关系，将已知的向量关系式转化成以

AB

，

AC

为基底的向量关系式，利用向量相等的条件即可求得△ABC中角A的大小．

解答：解：∵△ABC中，P是边BC的中点，
∴-

PA

=

AP

=

1

2

（

AB

+

AC

），
又

PB

=

1

2

CB

=

1

2

（

AB

-

AC

），
∴sinC

AC

+sinA

PA

+sinB

PB

=

0

?sinC

AC

+sinB•

1

2

（

AB

-

AC

）=-sinA

PA

=sinA•

1

2

（

AB

+

AC

），
∴（sinC-

1

2

sinB-

1

2

sinA）

AC

+

1

2

（sinB-sinA）

AB

=

0

，
∵

AB

与

AC

不共线，
∴sinB-sinA=0且sinC-

1

2

sinB-

1

2

sinA=0，
∴sinA=sinB=sinC．
∴A=B=C=60°
故答案为：60°．

点评：本题考查向量间的关系，考查平面向量基本定理与三角的综合应用，属于难题．