Question

已知函数f(x)=a(cos2

x

2

+

1

2

sinx)+b．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当a＜0，且x∈[

π

2

，π]时，f（x）的值域为[4，6]，求a，b的值．

Answer 1

分析：将函数f（x）解析式括号中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）将a的值代入f（x）解析式中，根据正弦函数单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的单调递减区间；
（2）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出正弦函数的值域，确定出f（x）的值域，由已知函数的值域，根据a小于0，判断出a+b小于b，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

解答：解：f（x）=a（cos²

x

2

+

1

2

sinx）+b=

a

2

（cosx+sinx）+

a

2

+b=

2 a

2

sin（x+

π

4

）+

a

2

+b，
（1）当a=2时，f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z），解得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，（k∈Z），
则函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

2

，π]，∴x+

π

4

∈[

3π

4

，

5π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
∵a＜0，
∴

a+b=4 b=6

，
解得：a=-2，b=6．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的最值，熟练掌握公式是解本题的关键．