Question

已知向量

a

=（1，1，0），

b

=（2，2，-3），若

b

=

b1

+

b2

，且

b1

∥

a

，

b2

⊥

a

，则

b1

-

1

3

b2

=

 

．

Answer 1

分析：设出两个向量设

b1

=(x1，y1，z1)，

b2

=(x2，y2，z3)，根据题中的向量的共线与垂直条件，结合向量的有关运算列出方程组并且解出解方程组的解，进而得到答案．

解答：解：设

b1

=(x1，y1，z1)，

b2

=(x2，y2，z3)，
因为

b

=

b1

+

b2

，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，z₁+z₂=-3…①
因为

b1

∥

a

，即

b1

=λ

a

所以x₁=λ，y₁=λ，z₁=0…②
因为

b2

⊥

a

，
所以x₂+y₂=0…③
由①②③可得

b1

=(2，2，0)，

b2

=(0，0，-3)，
所以

b1

-

1

3

b2

=（2，2，1），
故答案为（2，2，1）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量之间的加法与减法运算，以及利用向量的数乘运算与向量数量积运算解决向量的共线垂直等问题．