Question

已知曲线y＝ax³－bx(a≠0)上有两个不同的点A，B，且过A，B两点的切线都垂直于直线AB．

(1)试判断A，B两点是否关于原点对称，并说明理由；

(2)求出a，b所满足的条件，并画出点P(a，b)的存在范围．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)＝3ax2－b．设A(s，as3－bs)，B(t，at3－bt)为曲线上两个不同的点，从而s≠t． 　　依题意过A，B两点切线的斜率相等(或都不存在)，从而3as2－b＝3at2－b． 　　由于a≠0，故s2＝t2，于是s＝－t．由于函数y＝ax3－bx是奇函数，所以A、B两点关于原点对称． 　　(2)KAB＝＝a(t2＋ts＋s2)－b＝as2－b． 　　依题意(as2－b)·(3as2－b)＝－1， 　　即3a2(s2)2－4abs2＋1＋b2＝0． 　　令x＝s2，则方程3a2x2－4abx＋1＋b2＝0至少有一个正根． 　　因方程两根之积为＞0，故方程两根均为正根，从而两根之和＞0，且Δ＝(4ab)2－12a2(1＋b2)≥0． 　　于是，a，b同号，且b2≥3，图像如图所示．