Question

已知向量

a

，

b

是相互垂直的单位向量，且|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，则对于任意的实数t₁，t₂，|

c

-t1

a

-t2

b

|的最小值为（　　）

A．5

B．7

C．12

D．13

Answer 1

分析：根据题意，

a

²=

b

²=1且

a

•

b

=0，将此代入|

c

-t1

a

-t2

b

|²的式子，并且结合|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，化简整理可得|

c

-t1

a

-t2

b

|²=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144，由此不难得到t₁=3，t₂=4时，|

c

-t1

a

-t2

b

|的最小值为12．

解答：解：|

c

-t1

a

-t2

b

|²=

c

²+t₁²

a

²+t₂²

b

²-2t₁（

c

•

a

）-2t₂（

c

•

b

）+2t₁t₂（

a

•

b

）
∵

a

，

b

是相互垂直的单位向量，且|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，
∴|

c

-t1

a

-t2

b

|²=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144
由此可得，当且仅当t₁=3，t₂=4时，|

c

-t1

a

-t2

b

|²的最小值为144．
∴|

c

-t1

a

-t2

b

|的最小值为

144

=12
故选：C

点评：本题给出向量

a

、

b

、

c

的长度和夹角的一些数据，求

c

-t1

a

-t2

b

长度的最小值，着重考查了平面向量的数量积及其运算性质和二次式的最值等知识，属于中档题．