Question

已知∠A、∠B是△ABC的两个内角，向量

m

=(cos

A-B

2

)

i

+(

5

2

sin

A+B

2

)

j

，其中

i

， 

j

为相互垂直的单位向量．若|

m

|=

3 2

4

，证明：tanAtanB=

1

9

．

Answer 1

分析：根据|

m

|=

3 2

4

 可得 cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

9

8

，利用半角公式化简可得cos(A-B)-

5

4

cos(A+B)=0，再利用两角和差的余弦公式化简可得

9

4

sinAsinB=

1

4

cosAcosB，由同角三角函数的基本关系求得tanAtanB=

1

9

．

解答：证明：∵|

m

|=

3 2

4

，∴cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

9

8

，
∴

1+cos(A-B)

2

+

5

4

×

1-cos(A+B)

2

=

9

8

，即cos(A-B)-

5

4

cos(A+B)=0，
∴cos(A-B)=

5

4

cos(A+B)，即cosAcosB+sinAsinB=

5

4

cosAcosB-

5

4

sinAsinB，
∴

9

4

sinAsinB=

1

4

cosAcosB，∴tanAtanB=

1

9

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，求向量的模的方法，求出cos(A-B)=

5

4

cos(A+B)，是解题的关键．