Question

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点

【解析】

试题分析：(Ⅰ)点在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为，且，解方程组可得。（Ⅱ）点在直线上，则可得。当直线的斜率存在时设斜率为，得到直线方程，联立方程消掉得关于的一元二次方程。再根据韦达定理可得根与系数的关系。因为为中点，根据点的横坐标解得。因为故可得直线的斜率，及其含参数的方程。分析可得直线是否恒过定点。注意还要再讨论当直线的斜率不存在的情况。

试题解析：解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，

所以， 1分

因为椭圆的离心率为，所以，即， 2分

解得， 4分

所以椭圆的方程为. 5分

（Ⅱ）设，，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

由得， 7分

所以， 8分

因为为中点，所以，即.

所以， 9分

因为直线，所以，

所以直线的方程为，即 ，

显然直线恒过定点. 11分

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线为轴，也过点. 13分

综上所述直线恒过定点. 14分

考点：1椭圆的基础知识；2直线垂直的关系；3直线过定点问题；4直线和圆锥曲线的位置关系.