题目内容
若函数f（x）=
在其定义域R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
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(
，+∞)
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| 3 |
(
，+∞)
．| 16 |
| 3 |
分析：根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．
解答：解：①当x≤0时，f（x）=x+3x．
∵函数y=x与y=3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3x在区间（-∞，0]上也单调递增．
又f（-1）=-1+3-1=-1+
=-
＜0，f（0）=1＞0，所以函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f(x)=
x3-4x+a．
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即
-4×2+a＞0，解得a＞
．
故a的取值范围是(
，+∞)．
故答案为(
，+∞)．
∵函数y=x与y=3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3x在区间（-∞，0]上也单调递增．
又f（-1）=-1+3-1=-1+
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②当x＞0时，f(x)=
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∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即
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故a的取值范围是(
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故答案为(
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点评：利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．
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若函数f（x）（x∈R）为奇函数，且存在反函数f-1（x）（与f（x）不同），F(x)=
，则下列关于函数F（x）的奇偶性的说法中正确的是（ ）
| 2f(x)-2f-1(x) |
| 2f(x)+2f-1(x) |
| A、F（x）是奇函数非偶函数 |
| B、F（x）是偶函数非奇函数 |
| C、F（x）既是奇函数又是偶函数 |
| D、F（x）既非奇函数又非偶函数 |