Question

若函数f（x）（x∈R）为奇函数，且存在反函数f^-1（x）（与f（x）不同），F(x)=

2f(x)-2f-1(x)

2f(x)+2f-1(x)

，则下列关于函数F（x）的奇偶性的说法中正确的是（　　）

• A、F（x）是奇函数非偶函数
• B、F（x）是偶函数非奇函数
• C、F（x）既是奇函数又是偶函数
• D、F（x）既非奇函数又非偶函数

Answer 1

分析：由函数f（x）（x∈R）为奇函数可知，其反函数f^-1（x）也为奇函数，然后利用函数奇偶性的定义判断函数F（x）的奇偶性．

解答：解：∵f（x）（x∈R）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
∴f^-1（-x）=-f^-1（x）
∴F(-x)=

2f(-x)-2f-1(-x)

2f(-x)+2f-1(-x)

=

2-f(x)-2-f-1(x)

2-f(x)+2-f-1(x)

=

1 2f(x) - 1  2f-1(x)

1 2f(x) + 1 2f-1(x)

=-

2f(x)-2f-1(x)

2f(x)+2f-1(x)

=-F（x）
∴F（x）是奇函数．
故选A．

点评：本题考查函数单调性的判断，同时考查指数的运算性质，是基础题．