题目内容

若函数f（x）（x∈R）为奇函数，且存在反函数f^-1（x）（与f（x）不同），F(x)=

2f(x)-2f-1(x)

2f(x)+2f-1(x)

，则下列关于函数F（x）的奇偶性的说法中正确的是（　　）

A、F（x）是奇函数非偶函数

B、F（x）是偶函数非奇函数

C、F（x）既是奇函数又是偶函数

D、F（x）既非奇函数又非偶函数

分析：由函数f（x）（x∈R）为奇函数可知，其反函数f^-1（x）也为奇函数，然后利用函数奇偶性的定义判断函数F（x）的奇偶性．

解答：解：∵f（x）（x∈R）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
∴f^-1（-x）=-f^-1（x）
∴F(-x)=

2f(-x)-2f-1(-x)

2f(-x)+2f-1(-x)

=

2-f(x)-2-f-1(x)

2-f(x)+2-f-1(x)

=

1

2f(x)

-

1

2f-1(x)

1

2f(x)

+

1

2f-1(x)

=-

2f(x)-2f-1(x)

2f(x)+2f-1(x)

=-F（x）
∴F（x）是奇函数．
故选A．

点评：本题考查函数单调性的判断，同时考查指数的运算性质，是基础题．

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设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

若函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为虚界函数，给出下列函数：
①f（x）=0；
②f（x）=x²；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=

；
⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中是虚界函数的序号为

若函数f（x）和g（x）的定义域、值域都是R，则f（x）＞g（x）成立的充要条件是

A.
存在一个x（x∈R），使得f（x）＞g（x）
B.
有无穷多个x（x∈R），使得f（x）＞g（x）
C.
对于任意的x（x∈R），都有f（x）＞g（x）
D.
x∉{x|f（x）≤g（x）}

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．