Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

是（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=5．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明函数f（x）在（-1，1）上单调性；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立方程，求实数a，b的值；
（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数f（x）在（-1，1）上单调性；
（3）根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可．

解答：解：（1）由f（x）为奇函数，
∴f(0)=

b

1

=0，得b=0，
此时f(x)=

ax

x2+1

满足f（-x）=-f（x）适合题意，所以b=0成立．
∵f(

1

2

)=

a 2

1+ 1 4

=5，
∴a=

25

2

，
∴f(x)=

25

2

•

x

1+x2

．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
f(x2)-f(x1)=

25 2 x2

1+x22

-

25 2 x1

1+x12

=

25

2

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x22)(1+x12)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，
得f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）单调递增；              
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（t）
又f（x）是（-1，1）上的奇函数，
故f（t-1）＜f（-t），
∵f（x）在（-1，1）单调递增，
∴

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，
解得0＜t＜

1

2

故关于t的不等式的解集为(0，

1

2

)．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和函数单调性的判断和证明，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义和应用．