Question

已知圆的方程x²+y²=25，点A为该圆上的动点，AB与x轴垂直，B为垂足，点P分有向线段BA的比λ=

3

2

．
（1）求点P的轨迹方程并化为标准方程形式；   
（2）写出轨迹的焦点坐标和准线方程．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标和A点坐标，利用定比分点公式把A的坐标用P的坐标表示，代入圆的方程后可得点P的轨迹方程；
（2）由椭圆方程得到长半轴和短半轴，从而得到半焦距，则答案可求．

解答：解：（1）设点P（x，y）是轨迹上任意一点，点A的坐标是（x₁，y₁），点B的坐标是（x₁，0），
∵点P分有向线段BA的比λ=

3

2

，
∴

x=x1 y= 0+ 3 2 y1 1+ 3 2

，∴

x1=x y1= 5 3 y

，
又点A在圆x²+y²=25上，∴x²+

25

9

y2=25，
即

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）；
（2）由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，知a²=25，b²=9，
∴c=4，则椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点坐标是（-4，0），（4，0），准线方程是x=±

a2

c

=±

25

4

．

点评：本题考查了代入法求轨迹方程，训练了定必分点公式的用法，是中档题．