Question

已知圆的方程x²+y²=4，若抛物线过定点A（0，1），B（0，-1）且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（　　）

• A．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（x≠0）
• D．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（x≠0）

Answer 1

分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后求得x和y的关系式．

解答：解：设切点为（a，b），∴a²+b²=4，则切线为：ax+by-4=0
设焦点（x，y），由抛物线定义可得：x²+（y-1）²=

|b-4|2

4

…①，
x²+（y+1）² =

|b+4|2

4

…②，
消去b得，

x2

3

+

y2

4

=1
∵焦点不能与A，B共线，∴x≠0
∴抛物线的焦点轨迹方程为

x2

3

+

y2

4

=1（x≠0）
故选C．

点评：本题主要考查了抛物线的定义，点到直线的距离公式，两点间距离公式，曲线与方程的思想，椭圆的标准方程，考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题．