Question

过点P（

3

2

，-1）作抛物线y=ax²的两条切线PM、PB （U，B为切点），若

PA

• 

PB

=0，则 a=

 

．

Answer 1

分析：先设出切线方程，与抛物线方程联立可得关于x的二次方程，由于是切线，对应的判别式为0，利用PA、PB的斜率是方程的根以及两直线垂直可得a值．

解答：解：设过点P（

3

2

，-1）作抛物线y=ax²的切线方程为：y+1=k（x-

3

2

），联立

y+1=k(x- 3 2 ) y=ax2

?ax²-kx+

3

2

k+1=0．
因为是切线，所以△=k²-4a（

3k

2

+1）=0?k²-6ak-4a=0．①
直线PA、PB的斜率为上述方程①的根，
又由

PA

• 

PB

=0得：k_PA•K_PB=-1=-4a?a=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．