题目内容

若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且f（1）=4，f′（1）=1，∫01f（x）dx=
196
，求函数f（x）的解析式．
分析：根据解析式求出函数的导数和定积分，再列出三个方程进行求解．
解答：解：由f（1）=4得，a+b+c=4  ①
又∵f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=2a+b=1，②
∵∫01f（x）dx=∫01（ax2+bx+c）dx=
1
3
a+
1
2
b+c
∴
1
3
a+
1
2
b+c=
19
6
  ③
联立①②③式解得，a=-1，b=3，c=2
∴f（x）=-x2+3x+2．
点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，涉及了导数和定积分的知识应用，需要用导数公式进行求解．
练习册系列答案
相关题目
①命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函数f（x）=2x-x2的零点有2个；
③若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=0；
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函数f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．
其中真命题的序号是
①③
①③
（写出所有正确命题的编号）．
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函数记为y=g（x），g（16）=2，则f(
12
)=
2
2
．
若函数f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒过一定点，此定点坐标为
（2，2011）
（2，2011）
．
（2012•卢湾区一模）若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=
-
1
2
-
1
2
．

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