Question

【题目】已知函数，，曲线与在原点处有公共切线．

（I）若为函数的极大值点，求的单调区间（用表示）；

（II）若，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为，；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先分别求出，然后利用导数的几何意义求得，由此对分、利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）首先利用导数得到函数的单调性，由此得到的最小值，从而得到，设，然后分、、，利用导数研究函数的单调性即可得出．

试题解析：（I）由题意知：的定义域为，且，，

因为曲线与在原点处有公共的切线，故，

解得：，………………2分

所以，

．………………3分

时，，函数在定义域上是减函数，故不满足题意；4分

时，因为为函数的极大值点，故由的图象可知，

由得：，由得：．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．………………6分

（II）因为，且时，时，

故时，取得最小值0，所以，即，从而．

设，

则．………………7分

①当时，因为，所以，

所以在上单调递增，从而，即，所以．………………9分

②当时，由①知，

所以，故，即．……11分

③当时，令，则，

显然在上单调递增，又，，

所以在上存在唯一零点，

当时，，所以在上单调递减，

从而，即，所以在上单调递减，

从而当时，，即，不合题意．………………13分

综上，实数的取值范围为．………………14分