Question

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．图（2）、图（3）分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意直接画出三视图的侧（左）视图；
（2）根据三视图的数据直接求该安全标识墩的体积；
（3）如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O点，连接PO，证明直线BD⊥平面PEG，只需证明BD∥HF，HF⊥平面PEG．即可．
解答：解：（1）侧视图同正视图：
（2）该安全标识墩的体积为V=V_P-EFGH
+V_ABCD-EFGH=×40²×60+40²×20
=32000+32000=64000（cm³）．
（3）证明：如图，连接EG、HF及BD，EG与
HF相交于O点，连接PO，
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF．又∵EG⊥HF，
∴HF⊥平面PEG．
又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG．
点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，三视图的画法，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．线面关系的证明，是中档题．