Question

已知函数数列a_n的前n项和为S_n（n∈N^*），点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）令，证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，则s_n=n²+n，可得a_n=S_n-S_n-1=n+1，并验证a₁即可；
（2）证明：由c_n=+＞2，得c₁+c₂+…+c_n＞2n；由c_n=+=2+-，得c₁+c₂+…+c_n=2n+（-+-+…+-）=2n+-＜2n+；即证．
解答：解：（1）∵点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，
∴，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，a₁也适合，所以a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）证明：∵，∴c₁+c₂+…+c_n＞2n；
又c_n=+=2+-，∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（-+-+…+-）=2n+-＜2n+；
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+．
点评：本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题．