Question

【题目】已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.

（1）当面积最大时，求椭圆的方程；

（2）当时，若是线段的中点，求直线的方程；

（3）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在,点，使得为定值.

【解析】

（1）由题意可得点A与点B重合时，面积最大，借助基本不等式即可求出b的值，可得椭圆方程；
（2）设出点，则：，：，求出点A的坐标，点B的坐标，根据B是线段的中点，用中点坐标公式列方程，可得M点坐标，进而求出直线的方程；
（3）设，，求出点A的坐标，根据向量的数量积即可求出

解：（1）由已知：

，

当且仅当时等号成立；

则：，

此时椭圆方程为：；

（2）点在轴或其左侧，则图形如本题图，设，那么：

：，：，

令

得：，，

是线段的中点，

则：，

解得：，则，

则：：，即：；

（3）：，设，，

若点在轴左侧，则同上，，

，，

，

此时，，；

综上，故存在点使得为定值.