Question

（2013•奉贤区一模）椭圆

x2

4a2

+

y2

3a2

=1(a＞0)的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是

3a²

．

Answer 1

分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．

解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2a．
此时直线x=m=c=a；
把x=a代入椭圆

x2

4a2

+

y2

3a2

=1(a＞0)的方程得：y=±

3

2

a．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面积等于：S_△FAB=

1

2

×3a×EF=

1

2

×3a×2a=3a²．
故答案为：3a²．

点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．