Question

已知抛物线y²=4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，设直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y²=4x，再结合弦长公式|AB|=表示出|AB|，把弦长用引入的参数表示出来，再由中点的横坐标为2，研究出参数k，b的关系，使得弦长公式中只有一个参数，再根据其形式判断即可得出最值
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，令直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y²=4x得k²x²+2（kb-2）x+b²=0
故有
故有，解得，即=
又|AB|=====4×≤4×=6
故|AB|的最大值为6
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是用弦垂公式表示出弦长，再结合题设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数，利用求最值的方法求出最值．本题比较抽象，难点在二把弦长用参数表示出来之间，需要做大量的运算，做题时要有耐心，平时要注意提高符号运算能力．