Question

设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数．

Answer 1

分析：（1）由已知中，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=0，易得f（0）=1；
（2）令m=-n，结合（1）的结论，可得f（x）与f（-x）互为倒数，结合当x＞0时，0＜f（x）＜1，易得答案；
（3）设x₁＞x₂，易根据f（m+n）=f（m）•f（n）得：f（x₁）=f（x₂）•f（x₁-x₂），根据当x∈R时，恒有f（x）＞0，利用作商法，可得f（x₁）＜f（x₂），进而根据函数单调性的定义，即可得到答案．

解答：证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n），
则f（0）=1
（2）由（1）中结论可得：
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，
∴f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）•f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
所以

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1
所以f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是减函数

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中（1）（2）的关键是“凑”的思想，而（3）的关键是根据（2）的结论，而选择作商法是解答的关键．