Question

(08年金华一中理)  （15分） 动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过作曲线两条互相垂直的弦，设的中点分别为、。

（1）求曲线的方程；

（2）求证：直线必过定点；

（3）分别以、为直径作圆，求两圆相交弦中点的轨迹方程。

Answer 1

解析：（1）设，则有，化简得…………3分

（2）设，代入得

，，

故…………5分

因为，所以将点坐标中的换成，即得。………6分

则 ，整理得 

故不论为何值，直线必过定点…………8分

（3）显然，、都与抛物线相切，半径分别为，从而

两式相减并整理，得公共弦所在直线方程为

 

又

故公共弦所在直线过原点。所以 。于是点的轨迹方程是以为直径的圆（除取直径的两个端点），其轨迹方程为

      …………15分