Question

已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

[　　]

A．(1，2]

B．(1，2)

C．[2，＋∞)

D．(2，＋∞)

Answer 1

答案：C
解析：

解法一：如图l1与l2分别为与双曲线＝1的渐近线平行的两条直线，直线l为过F且倾斜角为60°的直线，要使l与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使≥tan60°＝． 　　∴e＝≥2，选C． 　　解法二：由已知设直线方程为y＝(x－c)与双曲线＝1联立消去y整理得(b2－3a2)x2＋6a2cx－3a2c2－a2b2＝0因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则应有x1·x2＜0即x1·x2＝ 　　∴，而a2＋b2＝c2 　　∴，∴， 　　解得． 　　∴e＝＝2， 　　经验证，此时Δ＞0． 　　特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，也适合题意， 　　此时，∴e＝＝2． 　　综上，双曲线的离心率的取值范围是[2，＋∞)．选C．