Question

已知x，y满足x²+y²-4x+1=0
（1）求

y

x

的最大值和最小值；
（2）求y-x的最小值．

Answer 1

分析：（1）

y

x

相当与（0，0）与圆上的点相连的直线的斜率，利用数形结合可知相切时取最值，解出

y

x

的最大值和最小值．
（2）y-x的值相当于一组斜率为1的平行线与圆有公共点时对应的截距，利用数形结合可知相切时取最值解出相切时对应的值即可．

解答：解：由x，y满足x²+y²-4x+1=0，整理得即（x，y）是以（2，0）为圆心，

3

为半径的圆上，
（1）

y

x

相当与（0，0）与圆上的点相连的直线的斜率，由图形可得，
相切时取最值由图形知，AC=

3

，OC=2，
∴∠AOC=60°，∴kOA=

3

，kOB=-

3

，
∴

y

x

的最大值

3

，最小值-

3

斜率为1的平行线与圆有公共点时对应的截距，
而y-x的最小值即为截距的最小值，设y-x=t，
由图形可知，相切时最大或最小，而此时圆心到直线的距离等于半径，
解

|0-2-t|

2

=

3

得t=

6

-2或t=-

6

-2 
故y-x的最小值为：-

6

-2．

点评：本题考查了数形结合的数学思想，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．