Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，设数列{b_n}的前n项和为S_n，令T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；   （Ⅱ）判断T_n+1，T_n（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）将两个已知等式结合得到关于数列{b_n}的项的递推关系，构造新数列，利用等差数列的通项公式求出

1

bn

，进一步求出b_n．
（II）表示出T_n，T_n+1，求出T_n+1-T_n，通过放缩法，判断出此差的符号，判断出T_n+1，T_n两者的大小．

解答：解：（Ⅰ）解：由b_n=a_n-1得
a_n=b_n+1代入2a_n=1+a_na_n+1得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
整理得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0
从而有

1

bn+1

-

1

bn

=1
∴b₁=a₁-1=2-1=1
∴{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=n即bn=

1

n

（Ⅱ）T_n+1＞T_n
证明：∵Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

Tn+1-Tn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0

故T_n+1＞T_n

点评：求数列的通项公式时，一般先看递推关系的特点选择合适的求通项的方法；求数列的前n项和一般也是先判断通项的特点，再选择合适的方法．