题目内容

函数f（x）=x+lgx-3的零点所在的大致区间是（　　）
分析：利用导数先判断函数的单调性，再利用函数的零点的判定定理即可得出．
解答：解：∵函数y=x-3与y=lgx在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）=x+lgx-3在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）至多有一个零点．
∵f（2）=2+lg2-3=lg2-1＜0，f(
5
2
)=
5
2
+lg
5
2
-3=lg
5
2
-
1
2
＜lg
10
-
1
2
=0，f（3）=3+lg3-3=lg3＞0，
∴f(
5
2
)f(3)＜0，
根据函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间(
5
2
，3)内存在零点，又函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）只有一个零点且在区间(
5
2
，3)内．
故选C．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、函数的零点的判定定理是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=x2+x-l，g（x）=ebx，其中P为自然对数的底．
（1）当b=-1时，求函数F（x）=f（x）•g（x）的极大、极小值；
（2）当b=-1时，求证：函数G（x）=f（x）+g（x）有且只有一个零点；
（3）若不等式g（x）≥ex对?x＞0恒成立，求实数b的取值范围．
（1）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，圆M的参数方程为
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）求x的取值范围，使f（x）为常数函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-a≤0有解，求实数a的取值范围．
（2013•泸州一模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=
2x4x+1
．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？
（2012•奉贤区一模）函数f(x)=
x+
1
2
，x∈[0，
1
2
)
2(1-x)，x∈[
1
2
，1]
，定义f（x）的第k阶阶梯函数fk(x)=f(x-k)-
k
2
，x∈(k，k+1]，其中k∈N*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点Pk（ak，bk），最低点Qk（ck，dk）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点Pk在某条直线L上．
（3）求证：点Qk到（2）中的直线L的距离是一个定值．
已知函数f（x）=
1
3
x3-x2-3x，g（x）=ax2-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．满足f（x）与g（x）的图象在x=x0处有相同的切线l．
（I）若a=
1
2
，求切线l的方程；
（II）已知m＜x0＜n，记切线l的方程为：y=k（x），当x∈（m，n）且x≠x0时，总有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，则称f（x）与g（x）在区间（m，n）上“内切”，若f（x）与g（x）在区间（-3，5）上“内切”，求实数a的取值范围．

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