Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围；
（2）若公差d∈Z，S_n为{a_n}的前n项和，，求证：对任意n∈N^*，S_n＜T_n．

Answer 1

解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0，
∴，
解得，
∴公差d的取值范围是（-，-3）．
（2）∵，d∈Z，
∴d=-4，
∵a₁+2d=12，
∴a₁=20，
∴S_n=20n+=-2n²+22n=-2（n-）²+，
∴n=5或n=6时，
（S_n）_max=60，
又，
即（T_n）_min＞60，
∴S_n＜T_n．
分析：（1）等差数列{a_n}中，a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0，故，由此能求出公差d的取值范围．
（2）由，d∈Z，知d=-4，由a₁+2d=12，知a₁=20，故S_n=-2n²+22n=-2（n-）²+，所以n=5或n=6时，（S_n）_max=60，由，知S_n＜T_n．
点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，求等差数列的公差的取值范围，考查等差数列的最小值的求法和应用，解题时要认真审题，注意配方法和均值定理的灵活运用．