Question

已知首项为正数的等差数列a_n满足：a₂₀₁₀+a₂₀₀₉＞0，a₂₀₁₀a₂₀₀₉＜0，则使其前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

• A、4016
• B、4017
• C、4018
• D、4019

Answer 1

分析：由题意利用等差数列的性质可得a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₁₀＜0，推出 S₄₀₁₇＞0，S₄₀₁₉＜0，再根据a₂₀₁₀+a₂₀₀₉ =a₁+a₄₀₁₈＞0 可得S₄₀₁₈＞0．

解答：解：∵首项为正数的等差数列a_n满足：a₂₀₁₀+a₂₀₀₉＞0，a₂₀₁₀a₂₀₀₉＜0，
∴a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₁₀＜0，∴a₁+a₄₀₁₇＞0，a₁+a₄₀₁₉＜0，
∴

4017(a1+a4017)

2

＞0，

4019(a1+a4019 )

2

＜0，∴S₄₀₁₇＞0，S₄₀₁₉＜0．
又 a₂₀₁₀+a₂₀₀₉ =a₁+a₄₀₁₈＞0，∴

4018(a1+a4018)

2

＞0，即  S₄₀₁₈＞0．
故选 C．

点评：考查等差数列的性质的应用，判断a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₁₀＜0，a₂₀₁₀+a₂₀₀₉ =a₁+a₄₀₁₈＞0，是解题的关键．