题目内容
已知各项均为正数的等比数列{an}的首项为a1=2，且4a1是2a2，a3，的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若bn=anlog2an，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．
【答案】分析：（Ⅰ）欲求数列{an}的通项公式，因为数列{an}为等比数列，a1=2，所以只需求出q，根据4a1是2a2，a3，的等差中项，就可找到含q的方程，解出q即可．
（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求数列{an}的通项公式代入bn=anlog2an，化简，即得数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法，求和即可．
解答：解：（Ⅰ）∵数列{an}为等比数列，a1=2，
∴a2=a1q=2q，a3=a1q2=2q2
∵4a1是2a2，a3，的等差中项，∴8a1=2a2+a3，即，16=2或=4q+2q2
解得，q=2或q=-4
∵数列{an}各项均为正数，∴q=-4舍去，
∴q=2，∴列{an}的通项公式an=2n
（Ⅱ）把an=2n代入bn=anlog2an，得，bn=2nlog22n=n2n，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n2n ①
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1 ②
①-②，得-Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=
-n2n+1=2n+1-2-n2n+1
∴Sn=-2n+1+2+n2n+1=（n-1）2n+1+2
点评：本题考查了等比数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列的和，属于数列的常见题型，应当掌握．
（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求数列{an}的通项公式代入bn=anlog2an，化简，即得数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法，求和即可．
解答：解：（Ⅰ）∵数列{an}为等比数列，a1=2，
∴a2=a1q=2q，a3=a1q2=2q2
∵4a1是2a2，a3，的等差中项，∴8a1=2a2+a3，即，16=2或=4q+2q2
解得，q=2或q=-4
∵数列{an}各项均为正数，∴q=-4舍去，
∴q=2，∴列{an}的通项公式an=2n
（Ⅱ）把an=2n代入bn=anlog2an，得，bn=2nlog22n=n2n，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n2n ①
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1 ②
①-②，得-Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=
-n2n+1=2n+1-2-n2n+1∴Sn=-2n+1+2+n2n+1=（n-1）2n+1+2
点评：本题考查了等比数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列的和，属于数列的常见题型，应当掌握．
练习册系列答案
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，
的等比中项。
是等差数列；（2）若
的前n项和为Tn,求Tn。
中，
与
的等比中项为
，则
的最小值为（ ）
，
的等比中项。
是等差数列；（2）若
的前n项和为Tn,求Tn。
，
的等比中项。
是等差数列；
的前n项和为Tn,求Tn。
，
的等比中项。
是等差数列；（2）若
的前n项和为Tn,求Tn。