题目内容
已知a,b,c是△ABC中的三边,求证:3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca).
分析：本题可采取两次作差法,并充分利用三角形中两边之和大于第三边这一性质.
证明：(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)=
(a-b)2+
(b-c)2+
(c-a)2≥0,
4(ab+bc+ca)-(a+b+c)2=4ab+4bc+4ca-a2-b2-c2-2ab-2bc-2ca=2ab+2bc+2ac-a2-b2-c2=a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)＞0,
∴3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca).
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