Question

【题目】已知函数

（1）若函数的图像在处的切线垂直于直线，求实数的值及直线的方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）函数求导得，进而得切线方程；

（2）函数求导，讨论， 两种情况；

（3）令，由单调性，求最值即可证得.

试题解析：

（1） ，定义域为，

函数的图像在处的切线的斜率

切线垂直于直线， ，

， ， 切点为

切线的方程为，即。

（2）由（1）知： ，

当时， ，此时的单调递增区间是；

当时，

若，则；若，则

此时， 的单调递增区间是，单调递减区间是

综上所述：

当时， 的单调递增区间是；

当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是 。

（3）由（2）知：当时， 在上单调递减

时，

时， ，即。