Question

【题目】设函数， ，且函数的图象关于直线对称。

(1)求函数在区间上最大值；

(2)设，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)设有唯一零点，求实数的值。

Answer 1

【答案】(1) 10(2) (3)

【解析】试题分析：因为关于直线对称，所以，分析函数在上单调递减，在上单调递增，所以很容易求最值（2）可化为，

化为，令，则, 求最小值即得解(3) 由题意得： ，

所以

故，即为的对称轴，因为有唯一的零点，所以的零点只能为，因为有唯一的零点，所以的零点只能为，即，解得，对进行检验，函数是上的增函数，

而，所以，函数只有唯一的零点，满足条件.

试题解析：

(1)因为关于直线对称，所以

故

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

又，所以当时， 。

所以在区间上的最大值为10

(2) 可化为，

化为，令，则,

因故，记，因为，故，

所以的取值范围是

(3)由题意得： ，

所以

故，即为的对称轴，

因为有唯一的零点，所以的零点只能为，

即，解得。

当时， ，

令，则，

从而

，

即函数是上的增函数，

而，所以，函数只有唯一的零点，满足条件。

故实数的值为。