Question

已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|ka+b|=|a-kb|（k>0），令f（k）=a·b。
（1）求f（k）=a·b（用k表示）；
（2）当k>0时，f（k）≥x²-2tx-对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题设得|a|²=|b|²=1，
对|ka+b|=|a-kb|两边平方得k²a²+2ka·b+b²=3（a²-2ka·b+k²b²），
整理易得f（k）=a·b=（k>0）。
（2）当且仅当k=1时取等号
欲使f（k）≥x²-2tx-对任意的t∈[-1，1]恒成立，等价于≥x²-2tx-，
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数
所以
解得
故实数x的取值范围是。