Question

6．已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（1）当a=2时，判断函数f（x）的单调性；
（2）当a=4时，给出两组直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线，若存在，求出该切线方程．
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}＞0$在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，利用导数即可判断函数f（x）的单调性．
（2）a=4，先求导，再根据基本不等式得到f′（x）≥4$\sqrt{2}$-6，不存在6x+y+m=0这类直线的切线，存在3x-y+n=0这类直线的切线
（3）问题等价于y=g（x）=$\frac{{2x}_{0}^{2}-6{x}_{0}+4}{{x}_{0}}$（x-x₀）+x₀²-6x₀+4lnx₀，令$ϕ（x）={x_0}{x^2}-（2{x^2}_0+4）x+4lnx•{x_0}+x_0^3+4{x_0}-4ln{x_0}•{x_0}$，由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．
∵f（x）=x²-4x+2lnx，
∴$f'（x）=2x-4+\frac{2}{x}=\frac{{2{x^2}-4x+2}}{x}=\frac{{2{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$
∵f'（x）＞0在定义域（0，+∞）内恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）都是单调递增．
（2）当a=4时，f（x）=x²-6x+4lnx，
则$f'（x）=\frac{{2{x^2}-6x+4}}{x}$，
∵x＞0，
∴$f'（x）=2（x+\frac{2}{x}-3）≥4\sqrt{2}-6$．
∴曲线f（x）在定义域内的任意一点处的切线斜率都大于或等于$4\sqrt{2}-6$，
而$3∈[{4\sqrt{2}-6，+∞}]$，
∴曲线f（x）可以与3x-y+n=0中的一条直线相切，另一组直线无切线．
此时切线的斜率是3，对应的切线方程式y=3x-20+8ln2或$y=3x-\frac{17}{4}-4ln2$；
（3）由（2）得函数y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为
l：y=g（x）=$\frac{{2x}_{0}^{2}-6{x}_{0}+4}{{x}_{0}}$（x-x₀）+x₀²-6x₀+4lnx₀．
若函数f（x）=x²-6x+4lnx存在“类对称点”P（x₀，f（x₀）），
则等价与当0＜x＜x₀时，f（x）＜g（x），当x＜x₀时，f（x）＞g（x）恒成立，
①当0＜x＜x₀时，f（x）＜g（x），恒成立，
等价于当0＜x＜x₀时，${x^2}-6x+4lnx＜\frac{{2{x^2}_0-6{x_0}+4}}{x_0}（x-{x_0}）+{x^2}_0-6{x_0}+4ln{x_0}$恒成立，
即当0＜x＜x₀时，${x_0}{x^2}-（2{x^2}_0+4）x+4{x_0}•lnx+{x^3}_0+4{x_0}-4{x_0}•ln{x_0}＜0$恒成立．
令$ϕ（x）={x_0}{x^2}-（2{x^2}_0+4）x+4lnx•{x_0}+x_0^3+4{x_0}-4ln{x_0}•{x_0}$，
则ϕ（x₀）=0，要使ϕ（x）＜0在0＜x＜x₀恒成立，只要ϕ（x）在（0，x₀）单调递增即可．
又∵$ϕ'（x）=2{x_0}x-（2{x^2}_0+4）+\frac{{4{x_0}}}{x}=\frac{{2（x{\;}_0x-2）（x-{x_0}）}}{x}$，
∴${x_0}≤\frac{2}{x_0}$，即$0＜{x_0}≤\sqrt{2}$．
②同理当x＞x₀时，f（x）＞g（x）恒成立，${x_0}≥\sqrt{2}$，
∴${x_0}=\sqrt{2}$．
∴y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标是${x_0}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查类对称点的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数性质的灵活运用．