Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

 （n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n；（不用证明）
（Ⅲ）若数列b_n=

an

n

，求数列{b_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在a_n+1=

2an

2+an

（n∈N*）中令n=1求出a₂，令n=2求出a₃，令n=3求出a_4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）应猜想：a_n=

2

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=

an

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），裂项后化简整理即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

∴a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

．
（Ⅱ）猜想：a_n=

2

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=

an

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
从而S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

点评：本题考查数列递推公式的应用，归纳的思想，裂项法数列求和．属于常规题．