Question

设(5x

1

2

-x

1

3

)n的展开式的各项系数之和为M，且二项式系数之和为N，M-N=992，则展开式中x²项的系数为

-250

．

Answer 1

分析：利用赋值法求出展开式的各项系数和，据展开式的二项式系数和为2ⁿ，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x²项的系数．

解答：解：令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M-N=992，
∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2n=k，则k²-k-992=0，
∴k=32，
∴n=5，
∵Tr+1=

C

r 5

•(5 x

1

2

)5-r(- x

1

3

)r=(-1)r•

C

r 5

•55-r• x

15-r

6

，
令

15-r

6

=2，得r=3，
∴x²项系数为（-1）³•C₅³•5²=-250．
故答案为：-250．

点评：本题考查利用赋值法求展开式的各项系数和；二项展开式的二项式系数的性质；利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项，是容易题．