已知抛物线C:y2=4x.动直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A.B两点.O为原点．(1)求证:OA•OB是定值,(2)求满足OM=OA+OB的点M的轨迹方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线C：y²=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．
（1）求证：

•

是定值；
（2）求满足

的点M的轨迹方程．

分析：（1）由题意知k²x²+（2k²-4）x+k²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2，x₁x₂=1.

•

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=k²+1+k²（

-2）+k²=5，所以

•

=5为常数．?
（2）

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

-2，

）．?设M（x，y），则y²=4x+8．由此可知M的轨迹方程为y²=4x+8（x＞2）．

解答：解：由

y2=4x

y=k(x+1)

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．?
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．?
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2，x₁x₂=1．?
（1）证明：

•

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）?
=（k²+1）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²?
=k²+1+k²（

-2）+k²=5，?
∴

•

=5为常数．?
（2）解：

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

-2，

）．?
设M（x，y），则

-2

消去k得y²=4x+8．?
又∵x=

-2＞2，故M的轨迹方程为y²=4x+8（x＞2）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

练习册系列答案

相关题目

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

已知抛物线C：y²=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），求证：a²=

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．

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得

|AM|2

|BM|2

恒为定值．

已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

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