题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的焦点坐标为 $数学公式$ ，离心率为 $数学公式$ ．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，a²=b²+c²得， $\text{[math]}$ ，b=1，
所以椭圆方程是： $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
将y=kx+2代入 $\text{[math]}$ ，整理得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），
则 $\text{[math]}$ ，
以PQ为直径的圆过D（-1，0），
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ =（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5= $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ，此时（*）方程△＞0，
所以存在 $\text{[math]}$ ，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）．
分析：（Ⅰ）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a²=b²+c²得b；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D（-1，0），则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足△＞0即可；
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系等知识，考查转化思想，解决（Ⅱ）问的关键是先假设存在，然后把问题转化为向量数量积为0求解．