题目内容

若等比数列前n项，2n项，3n项的和分别为Sn,S2n,S3n，求证：Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

证法一：设此数列的公比为q,首项为a1.

当q=1时，则Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1,

Sn2+S2n2=n2a12+4n2a12=5n2a12,

Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2a12,

∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

当n≠1时，则

Sn=,

S2n=(1-q2n),

S3n=(1-q3n).

∴Sn2+S2n2=()2［(1-qn)2+(1-q2n)2］

=()2(1-qn)2(2+2qn+q2n).

又Sn(S2n+S3n)=()2(1-qn)2(2+2qn+q2n),

∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

证法二：根据等比数列性质，有

S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),

S3n=Sn+qnSn+q2nSn.

∴Sn2+S2n2=Sn2+［Sn(1+qn)］2

=Sn2(2+2qn+q2n).

Sn(S2n+S3n)=Sn2(2+2qn+q2n),

∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

温馨提示

    (1)使用等比数列的前n项和公式时，对于q的取值要分类讨论，q=1或q≠1两种情况都要考虑到.

    (2)利用等比数列前n项和的性质可以简化运算，优化解答过程，一定要熟练掌握，灵活运用.

练习册系列答案
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．
已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}
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（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
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+…+
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pn-1
+
an
pn-1
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1+p
p
Tn-
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pn
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（3）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Tn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Tn∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

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