Question

（本题满分14分）

       已知函数，其中且．

   （Ⅰ）讨论函数的单调性；

   （Ⅱ）若，求函数（）的最值；

   （Ⅲ）设函数  当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立．试求的取值范围．

Answer 1

（本题满分14分）

       解：（1）∵      --------------1分

       则当时，在（-2，2）上函数单调递增；

       在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递减。--------------------------3分

       当时，在（-2，2）上函数单调递减；

       在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递增。-------------------------5分

   （2）由，-2≤x≤2，可得，

       ∴

       由（1）知，当，-2≤x≤2时，在上是减函数，

       而在上也是减函数-------------------------       7分

       ∴当时，取最大值4·，

       当时，取最小值   -------------------------9分

   （3）当m≥2时，，

       由（1）知，此时函数在上是减函数，

       从而，即----------------------10分

       若m≥2，由于，则，

       ∴在（-∞，2）上单调递增，从而

       即       --------------------------12分

       要使成立，

只需，即成立即可

       由函数在上单调递增，

且，得，又m≥2，所以≤    -------------14分