Question

已知f（x）=2acos²x+2

3

asin(π-x)cosx+a2（其中a＞0的常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈R，f（x）的最大值小于4，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期；
（2）利用f（x）的最大值小于4，建立不等式组，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=a(1+cos2x)+

3

asin2x+a2=2asin(2x+

π

6

)+a2+a…（5分）
∴T=

2π

2

=π   …（7分）
（2）依题意知：

a＞0 2a+a2+a＜4

，解得0＜a＜1，
∴a的取值范围为（0，1）…（13分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．