Question

【题目】设数列{an}的前项n和为Sn ， 若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．
（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式．
（2）求数列{nan}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知Sn=2an﹣3n．n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]．

∴an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3），即bn+1=3bn．

∴数列{bn}是等比数列，首项为6，公比为2．

∴bn=an+3=6×2n﹣1，解得an=3×2n﹣3

（2）解：nan=3n×2n﹣3n．

设数列{n2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n2n，

2An=22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

∴﹣An=2+22+…+2n﹣n2n+1= ﹣n2n+1，

∴An=（n﹣1）2n+1+2．

∴数列{nan}的前n项和Tn=（3n﹣3）2n+1+6﹣

【解析】（1）利用递推关系可得：an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3），即bn+1=3bn ． 即可证明．（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．