Question

【题目】已知函数.

（1）若为的极值点，求的值；

（2）当时，方程有实数根，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）0 .

【解析】

（1）求导，由题意可知f′（2）=0，即可求得a的值；（2）由题意可知：﹣x2+x+ln（1﹣x）=，则b=t（lnt+t﹣t2）在（0，+∞）上有解，t=1﹣x，构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性及最值的关系，即可求得b的最大值．

（1），求导

由为的极值点，则，即，解得：，

当

从而为函数的极值点，成立，

∴；

(2)当时，方程，转化成

即 ，令

则 在（0，+∞）上有解，

令

求导，

当0＜t＜1时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，1）上单调递增；

当t＞1时，h′（t）＜0，故h（t）在（1，+∞）单调递减；

h（t）在（0，+∞）上的最大值为h（t）max=h（1）=0，

此时

当a=﹣1时，方程有实数根，求b的最大值0．