题目内容

已知 $数学公式$ ，设函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）当 $数学公式$ ，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当 $数学公式$ 时，若f（x）=8，求函数 $数学公式$ 的值．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ sinxcosx+2cos²x， $\text{[math]}$ =sin²x+4cos²x
∴ $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin2x+3（1+cos2x）+ $\text{[math]}$ （1-cos2x）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x+5=5sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+5
∵ $\text{[math]}$ ，∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
因此，- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，可得函数f（x）的值域是[ $\text{[math]}$ ，10]．…（6分）
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+5=8，得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴ $\text{[math]}$ ，…（10分）
∴sin2x=sin[（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因此， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）根据向量数量积的坐标公式和模的公式代入，再用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=5sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+5，根据 $\text{[math]}$ 得2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，结合正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的值域；
（II）根据f（x）=8，得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再利用配角公式算出sin2x的值，而 $\text{[math]}$ =5sin2x+5，将sin2x代入即得 $\text{[math]}$ 的值．．
点评：本题以向量的数量积运算和模的计算为载体，考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．