Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，．
（1）求证：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设PA=AB=BC=CD=a，连接AC，在RT△ABC中，AC=a，在直角梯形ABCD中易求得AD=a，所以AD²+AC²=CD²，由此能够证明面PAD⊥面PAC．
（2）以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角D-PB-C的余弦值．
解答：（1）证明：设PA=AB=BC=CD=a，]
连接AC，在RT△ABC中，AC=a，
在直角梯形ABCD中易求得AD=a，所以在△DAC中有：AD²+AC²=CD²，
∴AC⊥AD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，
∴AC⊥平面PAD，
∵AC?平面PAC∴面PAD⊥面PAC．…（6分）
（2）以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，
则A（a，0，0），B（0，0，0），C（0，a，0），D（2a，a，0），P（a，0，a），
设平面PBC的法向量为=（x′，y′，z′），平面PBD的法向量为=（x，y，z），
=（a，0，a），=（0，a，0），=（2a，a，0），
由⊥，⊥，⊥，⊥，
得：ax′+az′=0，y′=0，ax+az=0，2ax+ay=0
∴z′=-x′，y′=0，y=-2x，z=-x，
∴=（1，0，-1），=（1，-2，-1）
∴cos＜，＞==
设二面角D-PB-C的平面角θ，由图形易知θ为锐角
∴cosθ=|cos＜，＞|=…（12分）．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．